论逻辑系统

论逻辑系统

梁彪

一、逻辑系统及其成为逻辑系统的一些条件

∵在日常生活中，一个有效的推理通常可以用形式表示为“如果p，那么q；∵p，∵所以q”。也可以用符号表示为（p→q）∧p→q。这种有效式在逻辑中又称为重言式。在正确的推理（合理的论证）中，各个重言式是一致的。因此，如果能够把握被看成是重言式的所有复合命题形式，那么，也就把握了所有的正确推理，也就解决了逻辑学中的最主要的问题，即推理理论。

但是，在日常生活中，推理的数量是无限多的，也就是说被看作重言式的逻辑公式是无限多的。为了把握无限多的重言式的全部或相当大的部分，有必要在逻辑学中引进系统化方法，特别是公理化的方法。

一般地说，人们可以采用任意的重言式作为公理，也可以采用任意数量的推理规则。因此存在着许许多多的公理系统。

通常一个公理系统应该包括如下内容：

∵（1）初始符号。包括表示命题变项的符号、表示命题联结词的符号和技术符号。

∵（2）形成规则。表示何种符号串才是有意义的，这种有意义的符号串称为合式公式。

∵（3）定义。定义的目的在于引入一些新的联结词，使公式得到简化。同时，定义也是形成规则的补充，由于引入了新的联结词，意味着产生了一些新的合式公式。

∵（4）公理。德国逻辑学家希尔伯特和阿克曼提出的系统P就包含了4条公理。这4条公理都是重言式，挑选某些重言式作为推理的出发点，这是公理系统最重要的特点。

∵（5）推理规则。最主要的是代入规则、分离规则，有时还包括定义置换规则等其他规则。

（6）定理。

在不同的公理系统中，是可以用不同的公式作为公理的。而无论选择什么样的重言式，为了使它成为一个公理系统，一般地说应该满足若干条件。就是说，某一具体的公理系统，如果它满足了以下的条件，那么它也就具有了公理系统的资格。但是，对于某些没有全部满足这些条件的系统是否是逻辑系统，则存在着不同的看法。

第一就是一致性条件。例如，古典的命题演算的一致性可以从语义定义、语法定义和古典定义三个方面进行说明。（1）一致性的语义定义：命题演算是语义一致的，其系统内的定理都是重言式。∵（2）一致性的语法定义：命题演算是语法一致的，并非任一公式在其中可证。（∵3）一致性的古典定义：命题演算是古典意义下一致的，不存在任何公式A，A与非A皆可证。这是任何公理系统都应该满足的条件，否则，整个系统将成为完全无意义的了。

那么，是否允许存在不一致的系统？这个问题要具体分析。在20世纪30年代，希尔伯特曾经作出巨大的努力来寻找形式系统一致性证明，但哥德尔否定了“希尔伯特规划”，在1931年提出了划时代的“哥德尔不完全性定理”。∵哥德尔第一不完全性定理表明，一个包括初等数论的形式系统P，如果是一致的，那么就必定是不完全的。即不可判定的公式是真的。哥德尔第二不完全性定理表明，如果一个包括古典数论的形式系统是一致的，则其一致性不能在此系统中得到证明。这说明，由于形式数论系统的一致性证明不可能在形式数论系统中实现，因而，任一形式数论系统，如果它是一致的，那么它就一定是不完全的；如果它是完全的，那么它就一定是不一致的。一给定的形式系统的协调性证明需要用到系统外的证明方法。∵∵

第二个条件，要求由公理和推理规则引出的所有定理构成的集合，与重言式的集合一致。换言之，如果某一逻辑公式是定理，那么它就是重言式。或者反过来说，如果某一逻辑公式是重言式，那么它就是定理。这个条件，一般叫做逻辑公理系统完全性的条件。可以证明，古典逻辑的命题演算和谓词演算都具有完全性。

但如上所述，一个包括初等数论的形式系统，一致性和完全性是二者必居其一的，两者不可得兼。

另外，有时人们用完全性来作为区分逻辑与非逻辑的标准。例如，涅尔提出只有具有完全性的系统才是逻辑。跟其他一些标准相比，这个标准的优点是具有精确性。涅尔给出的理由是，假如一个理论是不完全的，那么它的基本概念不能完全形式化，因此从逻辑的最基本的形式特征来看，有理由排除在逻辑的范围之外。但是如果采用这种标准的话会大大缩小人们通常理解的逻辑系统的范围。例如二阶谓词逻辑在通常意义上是不完全的，根据这个标准它会被排除在逻辑的范围之外。所以这个标准没有得到大多数逻辑学家的赞同。

第三个条件可表述为：公理和推理规则不能从其他公理和推理规则中引申出来，即公理相互独立性的条件。从纯粹理论的立场来说，特别要提出这样的要求，而从公理系统中公理的意义来看，也是很自然的。

相对地说，命题演算的独立性并不太重要，因为有些系统为了推演方便，所选取的公理是可以相互推导的，也就是不相互独立的。而自然推理系统没有公理，所以不存在公理独立性的问题。

二、不同逻辑系统之间的异与同

这样，逻辑系统就可以是多种多样的。在这里，我们首先考察逻辑系统之间的一些区别，然后，从广义和狭义两个方面来考察“相同的系统”的涵义。

不同系统之间的差别有如下几种表现。

第一，∵系统的不同首先表现在所使用的符号的不同。

对于相同的函子（相同的真值函项）可以用印刷上不同的表示方式表示。目前最常见的各种函子有：名称〖〗汉语读法〖〗符号一般的〖〗可不用括号分组的〖〗本论文采用的否定〖〗并非〖〗～，—，，〖〗N〖〗析取〖〗或者〖〗∨〖〗A〖〗∨合取〖〗并且〖〗∧，&，·〖〗K〖〗∧蕴涵〖〗如果…那么…〖〗，〖〗C〖〗等值〖〗当且仅当〖〗≡，～，〖〗E〖〗全称量词〖〗所有…〖〗（…），（…）〖〗∏…〖〗（…）存在量词〖〗至少有一…〖〗（…），（E…）〖〗∑…〖〗（…）

可不用括号分组的符号又称为波兰符号。它的优点是不用括号，公式前面的函子约束整个公式。虽然波兰符号没有括号，但范围是确定的。

∵第二，系统选择的初始符号不同。

初始符号的不同的集在表述的能力上是相同的。有些公式系统用∧和为初始符号，定义∨和→；另外一些系统用∨和为初始符号，定义∧和→，如此等等。例如，弗雷格的公理系统用否定和析取作为初始符号，希尔伯特-贝奈斯命题逻辑系统用否定、析取、合取、等值和实质蕴涵作为初始符号，它们的表达能力都是一样的。

第三，公理系统与自然演绎系统的不同。

一个逻辑的公理系统（如命题演算公理系统P），除了一个或更多的推理规则外，包括特选的公式的集，即公理。公理可以用于一个论证的任何地方，在系统中它们的真是无可置疑的。公理也可以是系统的定理，因为定理是从它们推导出来的。一个公理系统至少有一条推理规则，因为如果没有把一个公式移到另一个公式的工具，不可能进行定理的推导或证明。在某些具体的领域中，某些系统的公理并不一定是已知为真的，甚至已知为假都可以采用；构造这样的系统的目的是研究它们的推论。可以用一个几何学的例子来说明。沙奇里用与欧几里德的平行公理相矛盾的命题为公理，希望得到一个不一致的系统，然后证明从欧几里德的其他公理推导出平行公理。但由于这个平行公理实际上是独立于其他公理的，所以他没有达到目的。

∵相反，一个自然演绎系统（如自然演算SN系统）只是依赖推理规则，使人们不用公理就能进行推理。值得注意的是，自然演绎规则有一种非直接的甚至是准元逻辑的特征。考虑析取消除规则：如果从假设A推出C（加上其他可能的假设），并且从假设B推出C（加上其他可能的假设），那么从假设A∨B可以推出C（加上其他可能的假设）。

从公理或者自然演绎规则的方法，例如，通过命题演算公理系统P的公理或者自然演算SN系统的规则，可以产生同样有效的论证和定理。但是这两者之间的区别也比较明显。例如，涅尔认为，自然演绎系统更好地反映逻辑的主要问题，即论证的有效性问题。在涅尔看来，人们使用命题演算公理系统P中的公理系统，会产生一个令人遗憾的结果，这就是使人们将注意力从论证的有效性转移到公式的逻辑真值，从而偏离了逻辑的中心问题。而勃郎堡则认为，自然演绎系统突出了形式逻辑与其他形式理论如几何学、生物学之间的区别，因为这些科学除了要求逻辑推理规则的特有基础之外，还要求与它们研究的领域有关的具体的公理。我们同意强调逻辑主要是讨论论证的，但是，既然论证的有效性与公式的逻辑真值是密切联系在一起的，那么一个公理系统并不必然使人们的关注点产生偏离。卡尔纳普在1934年指出，人们可以把公理看成为具体的推理规则，以便得出这样的结果，即从任何前提或者为任何前提推出某个特定的公式。

第四，采用的公理和推导规则不同。

∵命题逻辑的公理化最早可以追溯至19世纪末叶的弗雷格。弗雷格在《概念语言》一书中提出了一个有6条公理的系统，这个公理系统是以否定和蕴涵为初始联结词的。后来，人们发现弗雷格的这一组公理不是独立的。例如从第一、第二两条公理可以推出第三条公理。因此弗雷格这组公理又可以简化为3条。

一般地说，在公理系统中，否定是最主要的初始联结词，否定加上析取、合取或蕴涵三者其中之一，可构造不同的公理系统。

20世纪初叶，有些逻辑学家希望能够将初始联结词减少至只有一个。这样，出现了两个新的联结词，↓（合舍）和∣（析舍）。其中“p↓q”表示“既非p又非q”，“p∣q”表示“非p或非q”。用其中的一个联结词，加上句点、括号等技术符号，可以建立完全的命题逻辑。以析舍为例，这个系统只有一个公理

p∣（q∣r）·∣∶∵·∵t∣（t∣t）∣∶（s∣q）∣（p∣s）∣（p∣s）∵

推演规则为：∵从├A和├A∣（B∣C）推出├∵C。

不过，这个系统的初始联结词和公理的数目虽然最少，公式却相当复杂，定理的证明也相当繁琐。

∵有时，人们并不在意公理的独立性，公理的数量会比较多。例如，希尔伯特-贝奈斯命题逻辑系统就有15条公理，其中蕴涵公理3条，合取公理3条，析取公理3条，等值公理3条，否定公理3条。

有的系统不把用对象语言表达的公理作为出发点，而采用以语法语言表示的图式。例如:

（A→B）→（（B→C）→（A→C））

在这里，元变项A、B、C表示无论代入什么公式，产生的公式都是一条公理。例如:

（p→q）→（（q→r）→（p→r））

就是上面图式的公理。可见，每一公理图式相当于无穷多条具体的公理，因之以公理图式为出发点实际上是从无穷多条公理出发，推演可以比较简便，不必作代入。

上面给出的系统都是二值命题演算可供选择的公理系统，这些不同的系统都可以产生完全一样的定理和有效推理。

总而言之，各种公理系统的目的和作用不同。有的系统公理少，出发点简单，但推演比较复杂。有的系统公理多，出发点复杂，而推演却比较简单。有的逻辑学家着眼于能否将初始联结词和公理减少到最低限度，其结果就是上面介绍的两种只有一个初始联结词和一个公理的系统。此外，希尔伯特-贝奈斯那样的系统，其目的是把各个逻辑联结词的特征加以刻画，而不在乎公理的数目多少。

系统差异的另一种方式是产生不同的定理和有效论证：例如，与古典逻辑的命题逻辑相比，有些多值逻辑缺乏某些古典的定理，如矛盾律和排中律；直觉主义逻辑的命题逻辑缺少双重否定和排中律等等。

现在从广义和狭义两个角度来考察所谓的“相同的系统”。

狭义的“相同的系统”是指，如果形式语言L1与L2两个系统都有“相同的公理和推理规则”而只是系统内的符号有所不同（即，用∧取代∵&∵），和初始函子有所不同（即，用p∵&∵q取代（p∨q）），那么，这两个系统是相同的系统。广义的“相同的系统”则是指，如果L1与L2两个系统都有“相同的定理”，只是符号和初始函子不同，那么，这两个系统是“相同的系统”。例如，命题演算公理系统P与自然演算SN系统在狭义上是不同系统的形式系统，因为一个系统有公理和分离规则，而另一个系统只有推理规则。但在广义上它们是同样的系统，因为这两个系统都有相同的定理。

“相同的系统”的这两种含义，各有不同的用途。狭义的角度适合用于L中的有效性定义。狭义的角度对于有效性的考虑的一个有利之处就是避免在处理其他问题上的一个循环：“定理”和“有效推理”是由系统定义的，而“系统”又与定理和有效推理有关。而广义的角度用途则更广泛一些，可用于考察标准逻辑与非标准逻辑的关系，例如，用于比较二值逻辑和多值逻辑等。

三、非标准逻辑系统和是否只存在一个正确的逻辑系统的争论

在现代形式逻辑中，命题演算和谓词演算被称为标准逻辑（或古典逻辑），而那些与标准逻辑不同的逻辑类型被称为非标准逻辑（或非古典逻辑），现在也把它们统称为哲学逻辑。非标准逻辑的种类很多，但大致上可以把它们分为两大类。一类是在命题逻辑的基础上增加新的初始概念（新的算子）而形成的公理系统，它们是标准逻辑的扩展形态。例如，模态逻辑、道义逻辑就是这种非标准逻辑。另一类非标准逻辑则是以否定或放弃标准逻辑的某些原则而构造的公理系统，它们是异常形态的非标准逻辑。下面我们分别考察这两种不同类型的非标准逻辑的公理系统的若干特点。

现代模态逻辑是由刘易斯建立的。与刘易斯同时或之后，许多逻辑学家竞相对模态逻辑进行研究。如今，模态逻辑已经发展成为一个庞大的逻辑分支。

模态逻辑系统K是以克里普克的名字命名的模态逻辑系统，它由古典逻辑系统的公理再加上一条称为K的公理，即□（p→q）→（□p→□q）构造而成。系统K是一个极弱的模态系统，有许多常见的模态公式如□p→p，□p→◇p等在这个系统中推导不出来，因此人们认为有必要对系统K进行扩充。

模态逻辑系统T是在模态逻辑系统K的基础上，加上公理T：□p→p构造扩展而成的。它除了包含所有系统K的定理外，还包含了一些新的定理和导出规则。系统T仍然是一个很弱的系统，有很多重要的模态公式不包含在其内；更重要的是，由于它没有归约律，不能化简公式前面的重叠算子，所以系统内有些公式是相当繁琐的。

模态逻辑系统S∵4是在模态逻辑系统T的基础上再加进一条公理4：□p→□□P形成的。与系统T相比较，系统S∵4多了几条称为归约律的定理。这些定理能够将某些重叠的模态化简，即可以将任何命题前面的模态算子化归为7种形式之一。

由于系统T不存在着任何归约律，因此，从理论上说，系统T有可能包含无穷数目的不同模态。虽然在系统S∵4中，任意的模态都可以归约为7种，但仍然存在着□◇□之类的重叠算子，因此人们要求将这些重叠算子进一步化简，这项工作是由系统S∵5完成的。

∵模态逻辑系统S∵5是在模态逻辑系统T的基础上加上公理E：◇p→□◇p而构成的。由于S∵4的特征公理是S∵5的定理，所以所有的S∵4的归约律也成了S∵5的定理，这样S∵5中就有了四条归约律。运用这四条归约律以及其他一些定理，可以删除任何一元模态算子系列中所有重叠的模态算子，使之只剩下单一的模态算子。

模态逻辑有如下的特征：第一，所有标准逻辑的定理，都是模态逻辑的定理。事实上，在模态逻辑的推演中，所有标准逻辑的定理都不需要再加以证明，因而具有公理的性质。第二，在模态系统中，有一个极小的系统K，其他的模态逻辑系统都是在这个系统的基础上构造而成的。这种情况在其他扩展逻辑中也一样。例如，道义逻辑有一个极小的系统OK，其他的道义逻辑系统都是在这个系统的基础上构造而成的；时态逻辑有一个极小的系统Kt，其他的时态逻辑系统都是在这个系统的基础上构造而成的，等等。第三，随着特征公理的增加，系统所包含的定理不断增加，后一个系统包含前一个系统。例如，系统T包含系统K，系统S∵4包含系统T，等等。也就是说，应用的范围在不断地扩大。

另一种非标准逻辑是异常逻辑。在这里我们以卢卡西维茨的多值逻辑系统为例。

促使卢卡西维茨建立多值逻辑系统的原因是对某些称之为“未来偶然”命题的思考。他说：“明年12月21日中午我将在华沙”这一命题在今天看来是既非真又非假的。二值逻辑未能涵盖这样的命题，应用的范围未免过窄。因此他要构造一个能涵盖这些命题的逻辑系统，这就是三值逻辑。在这个系统中，除了真、假二值外，命题还可以取第三个值“非真非假”。

后来，卢卡西维茨把三值逻辑系统推广到四值、五值、……直至无穷多的值。

卢卡西维茨的多值系统的初始符号、形成规则和推理规则跟古典逻辑完全一样。不同之处有：（1）命题的取值除了真假二值外，还可以取中性的、不确定的等其他的值。（2）为了使析取和合取保持在标准逻辑中原有的特征，对它们重新进行了定义。

卢卡西维茨公理系统的特征跟模态逻辑是不同的。第一，并非所有标准逻辑的定理，都是多值逻辑系统的定理。事实上，在许多多值逻辑系统中，具有p∨p形式的排中律、具有（p∧p）形式的矛盾律，都不是重言式（特指值公式）。反之，所有多值逻辑的定理都是标准逻辑的定理。第二，在卢卡西维茨公理系统中，如果二值逻辑（标准逻辑）系统不算的话，三值逻辑是定理最多的系统：随着值的增加，系统所包含的定理不断减少，前一个系统包含后一个系统。例如，三值系统包含四值系统，五值系统包含七值系统，等等。也就是说，随着命题取值的增加，系统应用的范围在不断地缩小。

模态逻辑和多值逻辑等非标准逻辑的出现，产生了是否只存在一个正确的逻辑系统的问题。对这一问题的回答可以分为三种情况：（1）一元论，即认为只有一种正确的逻辑系统。（2）多元论，即认为有多于一种的正确的逻辑系统。（3）工具论，即认为不存在所谓的正确逻辑，因为正确这个概念是不恰当的。

首先，什么是正确的逻辑系统？这里有两种情况：第一，在系统中有效的形式论证对应于在非系统意义上是有效的非形式论证；第二，在系统中是逻辑上为真的完备式对应于在系统外意义上是逻辑真的陈述。如果满足这两个条件，那么这个逻辑系统是正确的。在这个意义上，一元论者认为只有一种正确的逻辑系统，而多元论者却认为有多个正确的逻辑系统。

模态逻辑的创立者宣称，有些事实上的有效的论证或逻辑真在古典逻辑的词汇中没法表达，因此尽管古典逻辑是正确的，但它并不足够。而有些多值逻辑的支持者认为，古典逻辑中某些有效的论证或逻辑真理，它们的非形式的对应物不是逻辑有效的或真的，因此古典逻辑实际上是不正确的。这表明一元论者认为，人们应该在古典逻辑与异常逻辑之间选择其中之一。多元论者则认为人们应该把古典逻辑和扩展逻辑都看成是正确的。或者人们也可以把古典逻辑和扩展逻辑（包括某些异常逻辑以及它们的扩展）一起看成为“正确的逻辑”。

因此，我们把注意力放在古典逻辑与异常逻辑之间作出选择的问题上。一元论者把古典逻辑与异常逻辑看成是相互竞争的，认为只有一种形式系统能够正确地表示非系统的有效论证或逻辑真理；多元论者认为这种竞争只是表面的竞争。多元论又可以分为普遍的多元论和个别的多元论。

个别的多元论者认为，正如不同的物理学理论应用于不同的现象，不同的逻辑系统只能应用于不同的范围，例如古典逻辑应用于宏观现象，“量子逻辑”应用于微观现象，等等。他们把非系统的有效性、逻辑真以及逻辑系统的正确性都与具体的范围相关联，认为论证不是普遍有效的而是在某个系统中有效。

普遍的多元论者则认为，逻辑原理的应用与具体的个别的领域无关。他们认为，在古典逻辑和异常逻辑中的那些印刷符号相同的完备式或命题，它们的意义不同，因此不能表达具有完全相同信息的命题或论证。逻辑常项的意义完全依赖于它们出现的系统的公理和规则。因此，当人们说某个公式如p∨p是逻辑真的，只是说它在某个系统中为真而不是在另一个系统中为真；因此，这些公式虽然在印刷符号上是相同的，但在不同的系统中有不同的意义；因此，p∨p在古典逻辑是真的，但在三值逻辑中却不是真的；因此，古典逻辑和异常逻辑都是正确的。从这个观点来看，异常逻辑学更像模态逻辑学，不是完全古典逻辑，而是提供一个新的有效论证和逻辑真。跟模态逻辑不同的是，它们否认了使用旧的符号来表达新的概念是一种混淆。

工具主义者反对一元论者和多元论者都接受的逻辑系统的“正确性”的概念。在工具论者看来，虽然人们可以说一个逻辑系统比另一个逻辑系统更有效、更有用、更方便等等，但说一个逻辑系统是正确的还是不正确的却是没有意义的。这种反对正确性的概念总是以反对这个概念所要求的逻辑真和有效性的非系统的观念为基础的；如果只有在L中的逻辑真和在L中的有效性的概念才是明晰的，那么，那些在L中是逻辑真的和有效的命题或论证是否对应于非系统的逻辑真和有效的命题和论证的问题就不会产生。工具主义者关注的只是一个逻辑系统是否是“健全的”，即是否全部并且只有系统的定理或语义有效的论证在系统中是逻辑真的或有效的。

我们认为，工具论是不正确的。人们构造形式逻辑系统的目的就是要用精确的方法来表示非形式论证。从逻辑史来看，提出逻辑规则的目的是只允许正确的论证成立，而排斥不正确的论证。工具主义者认为逻辑没有所谓正确和不正确是不成立的。

逻辑的一个特征就是它的原则是普遍适用的。我们不能认为某些逻辑原则只适用于有关生物的推理，而不适用于有关物理的推理。因此个别的多元论也是不正确的。

现在看一元论和普遍的多元论。虽然在历史上人们主张存在着一个力图要表达的非系统有效性概念的逻辑的形式系统，但是，随着逻辑的发展这种看法在不断改变。例如，相关逻辑学家认为分离规则是无效的，因为分离规则是普通的、古典的、实质的蕴涵。但是，他们并不否定如果A和A→B都为真，那么B也必然为真；也就是说，他们说分离规则无效，并不是指古典逻辑的意义上的无效；而他们说分离规则有效，则指的是分离规则在古典的“有效”意义上是有效的。这就说明人们是同意普遍的多元论的。

异常逻辑学家与古典逻辑家之间对什么是表示非形式论证的最好或最适合的方式有可能存在不同的意见。人们希望有一种唯一的理想的清楚明白的形式概念，在其中每一个非形式的论证的唯一形式都可以得到正确的表示，但这种愿望是很难实现的。从某些目的来看，有可能一种形式比另一种形式更好，但不存在着唯一的最好的。

因此，普遍的多元论的立场是正确的，存在着不同的在已解释的意义上是正确的逻辑系统。

参考文献

涅尔，W和涅尔，M，1985年：《逻辑学的发展》，商务印书馆。

王宪钧，1982年：《数理逻辑引论》，北京大学出版社。

张家龙，1983年：《公理学、元数学与哲学》，上海人民出版社。

Hacck,∵S，1978，Philosophy∵of∵Logic,∵Cambridge∵University∵Press.

（作者单位：中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系）

责任编辑：朱葆伟